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极大似然估计  

2010-06-12 09:19:47|  分类: 转载 |  标签: |举报 |字号 订阅

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          极大似然估计方法是求估计的另一种方法,1821年首先由德国数学家C. F. Gauss提出,但是这个方法通常被归功于英国的统计学家R. A. Fisher,他在1922年的论文On the mathematical foundations of theoretical statistics, reprinted in Contributions to Mathematical Statistics (by R. A. Fisher), 1950, J. Wiley & Sons, New York 中再次提出了这个思想,并且首先探讨了这种方法的一些性质.极大似然估计这一名称也是费歇给的。这是一种上前仍然得到广泛应用的方法。它是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法,极大似然原理的直观想法是:一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,…。若在一次试验中,结果A出现,则一般认为试验条件对A出现有利,也即A出现的概率很大。 
          从一个例子入手来了解极大似然估计法的直观想法:设甲箱中有99个白球,1个黑球;乙箱中有1个白球,99个黑球.现随机取出一箱,再从中随机取出一球,结果是黑球,这时我们自然更多地相信这个黑球是取自乙箱的.因此极大似然估计法就是要选取这样的数值作为参数的估计值,使所选取的样本在被选的总体中出现的可能性为最大. 

  求极大似然函数估计值的一般步骤: 

  (1) 写出似然函数; 

  (2) 对似然函数取对数,并整理; 

  (3) 求导数 ; 

  (4) 解似然方程 

  极大似然估计,只是一种概率论在统计学的应用,它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值。极大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大,我们当然不会再去选择其他小概率的样本,所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。 
         最大似然法原理简单,应用很广。举个例子,这样的情况在生活会经常遇到。假如人们会感染一种病毒,有一种测试方法,在被测试者已感染这个病毒时,测试结果 为阳性的概率为95%。在被测试者没有感染这个病毒时,测试结果为阳性的概率为2%。现在,有一个人的测试结果为阳性,问这个人感染了病毒吗?根据最大似 然法,如果一个人感染病毒,95%的测试结果会为阳性;而如果这个人没有感染病毒,只有2%的测试结果会为阳性,所以这个人应该是已经感染病毒了。
        最大似然法应用广泛,但是经常会受到一种批评,而且对于这种批评,尤其在数据量比较小的时候,最大似然法的支持者没有很多充分的反驳理由:在最大似然法中,只考虑了由一个模型产生一个已知数据的概率,而没有考虑模型本身的概率。相对应的考虑了模型本身概率的方法,是贝叶斯方法(Bayesian method)。
        在上面测试病毒的例子中,如果我们知道在整体人群中,只有1%人会感染这种病毒,那么,根据贝叶斯方法,这个被测试者只有1/3左右的可能性感染了病毒 {1%*95%/(1%*95%+99%*2%)=32.4%}
在这里,我们看到先验概率对结果的影响很大。
        不过,当数据量比较大的时候,先验概率的影响就会减小。比如,人们在被检测出感染了一个严重的病毒后,一般会去其他医院复查。假如同一个人在三家医院进行 了独立的检查,结果都是阳性。那么,这个人真正感染了病毒的概率有多大?在这个人感染病毒时,出现这种检测结果的可能性为95%*95%*95% = 85.7%;而在这个人没有感染病毒时,出现这种检测结果的可能性为2%*2%*2% = 0.000008。根据最大似然法,我们应选择这个人感染了病毒。
 
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